Verteilungen

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[\varphi(x,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.\] Bemerkung. Der Erwartungswert der Normalverteilung ist \[\mathrm{E}(X) = \mu\] und die Varianz ist \[\mathrm{Var}(X) = \sigma^2.\]
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[\varphi_{\log}(x,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2} x} \,\mathrm{e}^{-\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}}.\] Bemerkung. Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung ist \[\mathrm{E}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}\] und die Varianz ist \[\mathrm{Var}(X) = (\mathrm{e}^{2\mu + \sigma^2})(\mathrm{e}^{\sigma^2}-1).\]
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[f_n(t) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}.\] Es bezeichnet \(\Gamma\) die Gammafunktion. Bemerkung. Der Erwartungswert der Student \(t\)-Verteilung mit \(n\) Freiheitsgraden ist \[\mathrm{E}(T) = 0\] und die Varianz existiert nur für \(n>2\) und ist dann \[\mathrm{Var}(T) = \frac{n}{n-2}.\] Merke. Für \(n\) grösser als ungefähr \(50\) unterscheidet sich die Student \(t\)-Verteilung fast nicht mehr von der Standardnormalverteilung (gepunktete Kurven).
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[\chi^2_n(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\] mit \(x\geq 0\). Es bezeichnet \(\Gamma\) die Gammafunktion. Bemerkung. Der Erwartungswert der \(\chi^2_n\)-Verteilung mit \(n\) Freiheitsgraden ist \[\mathrm{E}(\chi^2_n) = n\] und die Varianz ist \[\mathrm{Var}(\chi^2_n) = 2n.\]
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[F_{m,n}(x) = m^{\frac{m}{2}}n^{\frac{n}{2}} {\frac{\Gamma\!\left({\frac{m+n}{2}}\right)}{\Gamma\!\left({\frac{m}{2}}\right)\Gamma\!\left({\frac{n}{2}}\right)}} {\frac{x^{{\frac{m}{2}}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}}\] mit \(x\geq 0\). Es bezeichnet \(\Gamma\) die Gammafunktion. Bemerkung. Der Erwartungswert der \(F\)-Verteilung mit \((m,n)\) Freiheitsgraden existiert nur für \(n>2\) und ist dann \[\mathrm{E}(F_{m,n}) = \frac{n}{n-2},\] und die Varianz ist nur für \(n>4\) definiert und ist dann \[\mathrm{Var}(F_{m,n}) = \frac{2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}.\]
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[W_{T,b}(t) = \frac{b}{T} \left(\frac{t}{T}\right)^{b-1} \mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{T}\right)^{b}}\] mit \(t \geq 0\) und \(T \geq 0\). Bemerkung. Der Erwartungswert der Weibullverteilung ist \[\mathrm{E}(T) = T\,\Gamma\!\left(1+\frac{1}{b}\right)\] und die Varianz ist \[\mathrm{Var}(T) = T^2\Gamma\!\left(1+\frac{2}{b}\right) - T^2\Gamma^2\!\left(1+\frac{1}{b}\right).\] Es bezeichnet \(\Gamma\) die Gammafunktion.
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung \[P_{n,p}(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\] mit \(0 \leq x \leq n\). Bemerkung. Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist \[\mathrm{E}(X) = n p\] und die Varianz ist \[\mathrm{Var}(X) = np(1-p).\] Faustregel. Für \[n > \frac{9}{p(1-p)}\] lässt sich die Binomialverteilung sehr gut durch eine Normalverteilung mit Parameter \(\mu=np\) und \(\sigma^2=np(1-p)\) approximieren (gepunktete Kurven).
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung \[P_{\lambda}(X=x) = \frac{\lambda^x}{x!}\mathrm{e}^{-\lambda}\] mit \(0 \leq x\). Bemerkung. Der Erwartungswert der Poissonverteilung ist \[\mathrm{E}(X) = \lambda\] und die Varianz ist \[\mathrm{Var}(X) = \lambda.\]
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung \[P_{m,n,k}(X=x) = \frac{\binom{m}{x}\binom{n}{k-x}}{\binom{m+n}{k}}\] mit \(0 \leq k \leq m+n\). Bemerkung. Wir setzen \(p=\frac{m}{m+n}\), dann ist der Erwartungswert der Hypergeometrischen Verteilung \[\mathrm{E}(X) = k p\] und die Varianz ist \[\mathrm{Var}(X) = k p (1-p) \frac{m+n-k}{m+n-1}.\]