Fouriertransformation

Komplexe Darstellung des Integralsatzes von Fourier. Sei \(f\) absolut integrierbar, d. h. \(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(t) \right|\mathrm{d}t}\) soll existieren und \(f\) erfülle in jedem Intervall die so genannte Dirichletbedingungen, d. h., in jedem Punkt \(t\) sollen links- und rechtsseitige Grenzwerte existieren. Dann gelten die folgenden Beziehungen zwischen der Zeitfunktion \(f\) und der so genannten Spektralfunktion \(F\) \[f(t) = \frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{F\left( \omega \right)}{\mathrm{e}^{j\omega t}}\mathrm{d}\omega, \] \[F(\omega) = \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(t)}{\mathrm{e}^{-j\omega t}}\mathrm{d}t. \]
\[f_{\varepsilon}(t) = \left\{\begin{array}{llc} \frac{1}{\varepsilon} &\mbox{wenn} &|t| \leq \frac{\varepsilon}{2} \\ 0 &\mbox{sonst} \end{array}\right.\] mit der Normierung \(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f_{\varepsilon}(t) \right|\mathrm{d}t}=1\) und
Merke. Für \(\varepsilon \to 0\) konvergiert die Rechteckfunktion \(f_{\varepsilon}\) gegen die Dirac-Funktion \(\delta\) und die Fouriertransformierte wird immer breiter.
\[f(t) = \mathrm{e}^{-a t^2}\]
Merke. Wird die Unschärfe \(1/\sqrt{2a}\) im Zeitbereich kleiner, dann wird die Unschärfe \(\sqrt{2a}\) im Frequenzbereich grösser und umgekehrt. Es gilt in jedem Fall die Unschärferelation von Heisenberg \[\frac{1}{\sqrt{2a}} \cdot \sqrt{2a} = 1.\]