Taylorreihen
Die Taylorreihe einer Funktion \(f\) mit Entwicklungspunkt bei \(a\) ist durch \[f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k\] gegeben.
Wählen Sie eine Funktion aus:
Sinusfunktion
Logarithmusfunktion
Binomische Reihe
Wir visualisieren die Situation für \(f(x)=\sin(x)\) mit \(x \in \mathbb{R}\).
Wir visualisieren die Situation für \(f(x)=\ln(x)\) mit \(x \in \left]0, \infty\right[\).
Wir visualisieren die Situation für \(f(x)=(1+x)^s\) mit \(x \in X_{f}\) und Entwicklingspunkt bei \(a=0\). (Der Definitionsbereich \(X_f\) hängt von \(s\) ab.)
Maximaler Grad \(n\)
Entwicklungspunkt \(a\)
Entwicklungspunkt \(a\)
Exponent \(s\)
Beachten
Sie den Konvergenzbereich (grün). Der Konvergenzradius ist \(r=+\infty\).
Beachten
Sie den endlichen Konvergenzbereich (grün). Der Konvergenzradius \(r=a\) ist abhängig vom Entwicklungspunkt \(a\).
Beachten
Sie den endlichen Konvergenzbereich (grün). Zudem bricht die Taylorreihe für \(s \in \mathbb{N}_{0}\) beim Grad \(n=s\) ab.
Für \(s=-1\) ergibt sich die unendliche alternierende geometrische Reihe \[f(x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k= 1-x+x^2-x^3\pm\cdots.\]