Standardfehler des Mittelwertes

Wir ziehen eine Stichprobe \(x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots, x_n\) mit
aus einer Normalverteilung mit Mittelwert \(\mu=0\) und Standardabweichung \(\sigma=1\) (blaue Glockenkurve). Nun berechnen wir den Mittelwert (rote Linie) und beobachten die Abweichungen des Mittelwertes von 0 (blaue Linie). Wir stellen fest, dass diese Abweichung für grössere Stichprobenumfänge \(n\) kleiner wird. Mit etwas Mathematik lässt sich zeigen, dass \[\mathrm{sd}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\] Merke. Wenn die Genauigkeit eines Mittelwertes verdoppelt werden soll, dann muss der Stichprobenumfang vervierfacht werden.